El matemático que escribió f(x) por primera vez: la vida de Leonhard Euler y su fórmula más bella

Leonhard Euler (1707–1783) es tan importante en las matemáticas porque cambió a la vez lo que sabemos y la forma en que lo escribimos: fundó la teoría de grafos, hizo descubrimientos clave en teoría de números, cálculo y análisis complejo, e introdujo buena parte de la notación que todavía usamos en clase, como f(x) para una función, la letra e para la base del logaritmo natural o la i para la raíz cuadrada de menos uno. Se le considera probablemente el autor más prolífico de la historia de las matemáticas y de la ciencia; sus 866 publicaciones y su correspondencia se reunieron más tarde en una enorme edición de obras completas. Dicho de otro modo: si alguna vez escribiste una ecuación en un cuaderno del colegio, la escribiste en parte con el idioma de Euler.

Un hijo de pastor en Basilea

Euler nació en Basilea, Suiza, el 15 de abril de 1707. Su padre, Paul Euler, era pastor de la Iglesia reformada, y el niño pasó casi toda su infancia en el pueblo cercano de Riehen. El padre había asistido a clases del célebre matemático Jacob Bernoulli y fue quien le dio sus primeras lecciones de matemáticas. La familia esperaba que Leonhard siguiera el camino de la iglesia, y durante un tiempo llegó a estudiar teología.

Con trece años entró en la Universidad de Basilea, algo que entonces no resultaba extraño, y allí conoció a Johann Bernoulli, uno de los grandes matemáticos de Europa. Bernoulli no tenía tiempo para clases particulares, así que le ofreció otra cosa: le recomendó estudiar por su cuenta libros difíciles y presentarle sus dudas cada sábado por la tarde. Euler recordaría después que, cada vez que su maestro resolvía una objeción, desaparecían otras diez de golpe. Con el apoyo de Bernoulli, convenció a su padre para dedicarse a las matemáticas en lugar de al púlpito. Es un buen retrato de lo que significa enseñar: no dar respuestas hechas, sino enseñar a buscarlas.

San Petersburgo, Berlín y vuelta a Rusia

En Suiza había pocos puestos para un matemático joven, de modo que Euler miró hacia fuera. Daniel y Nicolaus, hijos de Johann Bernoulli, trabajaban en la nueva Academia Imperial de Ciencias de San Petersburgo; tras la muerte de Nicolaus, Daniel recomendó a su amigo para una plaza. Euler llegó en mayo de 1727, aprendió ruso, pasó pronto del departamento médico al de matemáticas e incluso trabajó un tiempo como médico en la Marina rusa. Cuando Daniel Bernoulli regresó a Suiza, Euler quedó al frente del departamento de matemáticas, y en 1734 se casó con Katharina Gsell, hija de un pintor de la academia.

La Rusia de aquellos años era inestable, y en 1741 Euler aceptó la invitación de Federico el Grande de Prusia para incorporarse a la Academia de Berlín. Allí vivió veinticinco años y escribió varios cientos de artículos, entre ellos su famoso libro sobre funciones, la Introductio in analysin infinitorum, publicado en 1748. Su relación con el rey fue fría. Federico prefería la conversación brillante, sobre todo la de Voltaire, y veía al matemático, sencillo y muy religioso, como alguien poco refinado fuera del mundo de los números. El rey llegó a quejarse de una fuente de su palacio que no funcionaba, aunque hoy se piensa que los cálculos de Euler eran probablemente correctos y el problema estaba en otra parte.

Cuando Catalina la Grande subió al trono ruso, Euler volvió a San Petersburgo en 1766 con condiciones muy generosas, y allí pasó el resto de su vida.

Trabajar a oscuras

Uno de los aspectos más asombrosos de su historia es la vista. En 1738, tras una fiebre grave, quedó casi ciego del ojo derecho; en 1766 se le detectó una catarata en el izquierdo y, aunque una operación le ayudó brevemente, las complicaciones lo dejaron casi totalmente ciego. Lo sorprendente es que su producción no bajó. Con la ayuda de escribientes dictaba su trabajo, y en 1775 llegó a producir de media un artículo matemático por semana. Su memoria era legendaria: podía recitar la Eneida de Virgilio y conocía los cien primeros números primos con sus potencias hasta la sexta. Al perder la vista de un ojo, según se cuenta, comentó que así tendría menos distracciones.

El 18 de septiembre de 1783, después de comer con su familia, estaba hablando de la órbita del recién descubierto planeta Urano cuando sufrió una hemorragia cerebral y murió. El pensador francés Condorcet cerró su elogio fúnebre con una frase famosa: dejó de calcular y de vivir.

La notación que todos usamos

Para la mayoría de la gente, su mayor regalo pasa desapercibido precisamente porque parece normal. Fue el primero en escribir f(x) para el valor de una función f en x, introdujo la forma moderna de escribir las funciones trigonométricas y empleó la e para la base del logaritmo natural, la Σ para las sumas y la i para la unidad imaginaria. El símbolo π para la razón entre la circunferencia y el diámetro lo había usado antes el galés William Jones, pero fue Euler quien lo hizo popular. Como sus manuales se leían en toda Europa, sus costumbres se convirtieron en las de todos.

Podemos pensar en la notación como la gramática de las matemáticas. Un buen símbolo funciona como una buena palabra: resume una idea larga en algo breve que todos pueden compartir. Antes de que estos signos se generalizaran, muchas relaciones se explicaban con frases largas y enrevesadas. Los símbolos claros de Euler hicieron más fácil leer, comprobar y ampliar el trabajo de otros, y esa es una de las razones por las que su huella ha durado tanto.

e^(iπ) + 1 = 0, contado sin miedo

La fórmula más unida a su nombre es la identidad de Euler, e^(iπ) + 1 = 0. Reúne cinco de los números más importantes de las matemáticas: el 0, el 1, π (más o menos 3,14159), e (más o menos 2,71828) e i, el número cuyo cuadrado es menos uno. Además usa una sola vez cada una de tres operaciones básicas: la suma, la multiplicación y la potencia.

No hace falta saber mucha matemática para entender por qué sorprende. π nace de los círculos, e aparece cuando estudiamos el crecimiento o el interés compuesto, e i surge al intentar sacar la raíz cuadrada de un número negativo. Son ideas que crecieron en rincones distintos, y sin embargo una línea muy corta las une y el resultado es, sencillamente, cero. La identidad es un caso particular de la fórmula de Euler, e^(ix) = cos x + i sen x, que conecta la función exponencial con la geometría del círculo.

En 1990, los lectores de la revista The Mathematical Intelligencer la eligieron como el teorema más bello de las matemáticas. Hay, eso sí, un matiz honesto: Euler publicó la fórmula general en 1748, pero no está claro que él mismo escribiera alguna vez esta versión exacta con las cinco constantes, y parece que no se sabe quién la formuló primero de manera explícita. El nombre rinde homenaje a quien hizo posible el resultado.

Siete puentes y el nacimiento de los grafos

En 1735 Euler resolvió un acertijo de la ciudad prusiana de Königsberg, atravesada por un río con dos islas unidas al resto de la ciudad por siete puentes. La pregunta era si se podía dar un paseo cruzando cada puente exactamente una vez. Euler demostró que era imposible, y su solución se considera el primer teorema de la teoría de grafos. Su truco fue olvidarse de las distancias y las formas y fijarse solo en qué está conectado con qué. Esa misma manera de pensar está hoy detrás de los navegadores GPS, las redes informáticas y los mapas de las redes sociales.

También descubrió que, en un cuerpo sólido sin agujeros, el número de vértices menos el de aristas más el de caras siempre da 2, un resultado que hoy se llama característica de Euler. Se puede comprobar con un cubo: 8 vértices, 12 aristas y 6 caras; 8 menos 12 más 6 es igual a 2.

Más allá de las matemáticas puras

Euler no se quedó en la teoría. Resolvió el problema de Basilea, que pedía la suma exacta de los inversos de los cuadrados y que había vencido durante décadas a los mejores matemáticos. Reformuló las leyes del movimiento de Newton para los cuerpos rígidos, escribió ecuaciones para el movimiento de los fluidos y estudió barcos, óptica, la flexión de las vigas y la carga que soportan las columnas. Y fue un gran divulgador: sus más de doscientas cartas a una princesa alemana, en las que explicaba física y matemáticas con palabras sencillas, se leyeron más que cualquiera de sus obras técnicas.

Por qué sigue importando

Los matemáticos posteriores hablaron de él con un respeto poco común. Pierre-Simon Laplace aconsejaba leer a Euler porque es el maestro de todos nosotros, y Carl Friedrich Gauss dijo que estudiar sus obras era la mejor escuela para las distintas ramas de las matemáticas. Su rostro apareció en billetes suizos y en muchos sellos, y un asteroide y un cráter de la Luna llevan su nombre.

Para quien aprende idiomas, su vida deja una lección tranquila. Euler pasó del alemán de Suiza al latín, al ruso y a cortes donde se hablaba francés, y dedicó su carrera a convertir ideas complicadas en símbolos claros y compartidos. Aprender una lengua se parece bastante: se reúnen piezas pequeñas y fiables, y se usan una y otra vez hasta que salen solas. La constancia de Euler, que siguió trabajando cada día incluso sin vista, es un buen modelo para cualquier proyecto largo.

Aprende español con Euler

Expresión	Significado	Ejemplo
echar cuentas	hacer cálculos	Euler echaba cuentas de memoria.
salir adelante	superar una dificultad	Salió adelante aunque perdió la vista.
dejar huella	tener una influencia duradera	Su notación dejó huella en todos los libros.
atar cabos	relacionar datos para entender algo	Al ver los puentes como puntos, atamos cabos.
no dar abasto	tener más trabajo del que se puede hacer	Sus escribientes no daban abasto.

Practica: escribe tres frases en español sobre una habilidad que estés aprendiendo usando "salir adelante" y "atar cabos".