유클리드는 왜 '기하학의 아버지'일까? 『원론』 쉽게 읽기

유클리드가 '기하학의 아버지'로 불리는 것은 기원전 300년 무렵 쓴 『원론』으로 당시의 기하학을 하나의 논리 체계로 정리했기 때문이다. 몇 개의 정의와 기본 가정에서 출발해 수백 개의 결론을 하나씩 차례로 증명해 나간다. 『원론』은 흔히 '역사상 가장 성공한 교과서'로 불리며, 판본이 천 종을 훌쩍 넘어 출판된 판의 수로는 성경 다음이라고 추정된다. 우리가 학교에서 배우는 평면 기하학을 지금도 '유클리드 기하학'이라고 부르는 이유다.

이름은 유명한데 삶은 거의 백지

놀랍게도 유클리드라는 사람에 대해서는 알려진 것이 거의 없다. 기원전 300년 무렵 활동했고, 이집트의 그리스 도시 알렉산드리아에서 일했을 가능성이 크지만 태어난 곳은 모른다. 전해지는 이야기 대부분은 수백 년 뒤인 5세기의 프로클로스, 4세기의 파푸스 같은 저자에게서 나왔다. 중세 아랍 저자들이 자세한 전기를 남겼지만 대부분의 학자는 믿지 않으며, 후대 학자들은 그를 철학자 메가라의 에우클레이데스와 혼동하기도 했다.

"기하학에는 왕도가 없다"

가장 유명한 일화는 프로클로스가 전한다. 이집트 왕 프톨레마이오스 1세가 『원론』보다 더 빨리 기하학을 배울 방법이 없느냐고 묻자, 유클리드가 기하학에는 왕을 위한 길이 따로 없다고 답했다는 것이다.

하지만 이 이야기는 전설로 받아들이는 편이 좋다. 거의 똑같은 대화가 수학자 메나이크모스와 알렉산드로스 대왕 사이의 일로도 전해지는데, 두 이야기 모두 700년도 더 지나 기록되었고 출처도 밝히지 않았다. 누가 한 말이든, 외국어를 배우는 모든 사람에게 딱 맞는 말이다.

『원론』에는 무엇이 들어 있나

『원론』은 모두 13권이다. 대략 1–6권은 평면 도형, 7–10권은 수에 관한 이론, 11–13권은 입체 도형을 다룬다. 대표적인 현대 판본 기준으로 전체 명제는 465개다. 내용 상당수는 에우독소스, 테아이테토스 같은 선배 수학자의 성과지만, 그것을 올바른 순서로 늘어놓고 증명으로 하나하나 이어 붙인 것이 유클리드의 위대함이다.

• 1권 끝에는 피타고라스 정리와 그 역이 나오며, 현존하는 가장 오래된 증명이 실려 있다.
• 7권에는 두 수의 최대공약수를 구하는 '유클리드 호제법'이 있다.
• 9권은 소수가 무한히 많다는 것을 증명한다.
• 13권은 정다면체를 작도하고 그것이 다섯 가지뿐임을 보인다.

다섯 개의 공준과 평행선 문제

1권은 정의, 다섯 개의 공준, 다섯 개의 공통 개념으로 시작한다. 앞의 네 공준은 아주 소박하다. 두 점을 잇는 직선을 그을 수 있다, 직선은 얼마든지 늘일 수 있다, 어떤 중심과 반지름으로도 원을 그릴 수 있다, 모든 직각은 같다.

그런데 다섯째 '평행선 공준'만은 길고 복잡했다. 수백 년 동안 많은 수학자가 나머지 넷으로 이것을 증명하려다 실패했다. 19세기에 와서야 이것을 다른 가정으로 바꿔도 모순 없는 기하학이 만들어진다는 사실이 밝혀졌고, 1829년 로바쳅스키가 쌍곡 기하학을 발표했다. 당연해 보이는 규칙 하나를 바꾸자 완전히 새로운 세계가 열린 것이다.

세계를 여행한 책

『원론』은 800년 무렵 아랍어로 번역되었고, 1482년 베네치아에서 첫 인쇄본이 나왔다. 1607년에는 이탈리아 선교사 마테오 리치와 중국 학자 서광계가 첫 중국어판을 펴냈다. 19세기에 학교 교과서 자리에서 물러나기 전까지 이슬람 세계와 서유럽 수학 교육의 중심이었다.

유클리드는 『원론』 말고도 원근법을 다룬 그리스 저작 가운데 현존하는 가장 오래된 『광학』 등을 남겼고, 원뿔곡선에 관한 책처럼 사라진 저작도 있다. 그는 아르키메데스, 아폴로니오스와 함께 고대의 가장 위대한 수학자로 꼽힌다. 오늘날 유럽우주국의 우주 망원경과 달의 크레이터, 소행성 하나가 그의 이름을 달고 있다.

유클리드와 함께 배우는 한국어 표현

표현	뜻	예문
배움에는 왕도가 없다	공부에 쉬운 지름길은 없다	외국어도 배움에는 왕도가 없다.
차근차근	순서대로 하나씩	문법을 차근차근 익히고 있다.
기초를 다지다	바탕을 튼튼히 하다	먼저 발음 기초를 다지자.
처음부터 시작하다	맨 처음부터 하다	작년에 일본어를 처음부터 시작했다.
앞뒤가 맞다	논리가 어긋나지 않다	그의 설명은 앞뒤가 맞다.

연습: 유클리드는 다섯 개의 규칙으로 거대한 체계를 세웠다. 언어 공부에서 내가 지키는 '기본 규칙'에 대해 '차근차근', '기초를 다지다', '배움에는 왕도가 없다'를 넣어 한국어 문장 세 개를 써 보자.