가우스는 왜 '수학의 왕자'라고 불릴까? 업적을 쉽게 정리했다

카를 프리드리히 가우스(1777–1855)가 '수학의 왕자'로 불리는 이유는 한 분야가 아니라 거의 모든 분야에서 판을 바꿨기 때문이다. 그는 정십칠각형을 자와 컴퍼스로 그릴 수 있음을 증명했고, 현대 정수론의 바탕이 된 책을 썼으며, 사라진 왜행성 세레스가 다시 나타날 위치를 계산했고, 최소제곱법을 만들었으며, 물리학자 빌헬름 베버와 함께 최초의 전자기 전신기를 제작했다. 통계에서 보는 종 모양의 정규분포도 그의 이름을 따 '가우스 분포'라고 부른다. 그가 죽은 직후 하노버 왕의 명으로 만든 메달에는 '수학자들의 왕자에게'라는 글귀가 새겨졌다.

가난한 집안의 수재

가우스는 1777년 4월 30일 지금의 독일 브라운슈바이크에서 태어났다. 아버지는 정육점 일, 벽돌공, 정원사 등으로 생계를 꾸렸고 어머니는 글을 거의 읽지 못했다. 그의 재능을 알아본 선생님들이 브라운슈바이크 공작에게 소개했고, 공작의 후원으로 콜레기움 카롤리눔과 괴팅겐 대학에서 공부할 수 있었다.

1부터 100까지 더하기

선생님이 1부터 100까지 모두 더하라고 하자 어린 가우스가 곧바로 5050이라고 답했다는 이야기는 유명하다. 하지만 이것은 널리 알려진 일화일 뿐 확실한 기록은 아니다.

그래도 방법만큼은 진짜다. 1과 100, 2와 99, 3과 98처럼 양 끝을 짝지으면 모두 101이 된다. 짝이 50개이니 50 곱하기 101, 즉 5050이다. 무작정 계산하기 전에 규칙부터 찾는 것, 이것이 가우스식 사고다.

정십칠각형이 정해 준 진로

고대 그리스 이후 사람들은 자와 컴퍼스로 정삼각형이나 정오각형 같은 도형을 그릴 줄 알았지만, 그 뒤 2000년 넘게 진전이 없었다. 1796년 열아홉 살의 가우스는 정십칠각형도 작도할 수 있음을 보였고, 이는 2000여 년 만의 첫 진전이었다. 비결은 17이 '페르마 소수'라는 데 있다. 알려진 페르마 소수는 3, 5, 17, 257, 65537 다섯 개뿐이다. 언어학과 수학 사이에서 고민하던 가우스는 이 발견을 계기로 수학을 택했다.

정수론의 고전과 세레스

1799년 그는 대수학의 기본정리를 증명한 논문으로 헬름슈테트 대학에서 박사 학위를 받았다. 1801년에는 『산술 연구』를 펴내 흩어져 있던 정수에 관한 지식을 하나의 학문으로 정리했다.

같은 해 1월 1일, 이탈리아 천문학자 피아치가 작은 천체 세레스를 발견했지만 곧 태양 빛에 묻혀 놓치고 말았다. 가우스는 얼마 안 되는 관측 자료로 궤도를 계산해 다시 나타날 위치를 예측했고, 오차는 약 0.5도에 불과했다. 그해 12월 천문학자 차흐가 세레스를 다시 찾았고, 올베르스도 독자적으로 확인했다. 젊은 수학자는 하루아침에 유럽 전역에 이름을 알렸다.

최소제곱법: 오차 속에서 답 찾기

이 성공의 뒤에는 최소제곱법이 있었다. 모든 측정에는 작은 오차가 섞인다. 그래서 여러 관측값과의 차이를 각각 제곱해 더한 값이 가장 작아지는 답을 고른다. 가우스는 르장드르가 발표하기 전에 이미 이 방법을 찾아냈다. 스마트폰의 위치 추정이나 흩어진 점들 사이에 '가장 잘 맞는 직선'을 긋는 그래프가 모두 이 생각의 후손이다.

땅을 재고 자기장을 재다

1807년 가우스는 괴팅겐 대학 교수 겸 천문대장이 되어 세상을 떠날 때까지 그 자리를 지켰다. 1820년부터 1844년까지 하노버 왕국의 측량을 이끌며 햇빛을 거울로 먼 곳에 반사하는 '헬리오트로프'를 발명했다. 곡면이 얼마나 휘었는지는 그 곡면 위에서 잰 거리와 각도만으로 알 수 있다는 '빼어난 정리'도 이 무렵의 성과다. 1832년에는 지구 자기장을 처음으로 절대값으로 측정했고, 1833년 베버와 전신기를 만들었다.

적게, 그러나 무르익은 것만

가우스의 인장에는 '적게, 그러나 무르익은 것'이라는 라틴어 문구가 새겨져 있었고, 미완성이라고 여긴 연구는 발표하지 않았다. 비유클리드 기하학을 처음 연구한 사람으로 꼽히면서도 공개하지 않은 것도 그래서다. 그는 1855년 2월 23일 괴팅겐에서 77세로 세상을 떠났다.

가우스와 함께 배우는 한국어 표현

표현	뜻	예문
규칙을 찾다	반복되는 원리를 발견하다	동사 활용의 규칙을 찾았다.
하나를 보면 열을 안다	작은 것으로 전체를 짐작하다	하나를 보면 열을 안다고, 기본이 중요하다.
양보다 질	많은 것보다 좋은 것이 중요하다	공부는 양보다 질이다.
두각을 나타내다	재능이 뛰어나게 드러나다	그는 어릴 때부터 두각을 나타냈다.
답을 이끌어 내다	생각해서 결론을 얻다	예문에서 답을 이끌어 냈다.

연습: 가우스처럼 규칙을 찾는 눈으로, 지금 배우는 언어에서 발견한 규칙 하나를 '규칙을 찾다', '양보다 질'을 넣어 한국어 문장 세 개로 써 보자.